Comme tu le dis, billard signifia d'abord bâton pour pousser les boules avant de donner son nom au jeu.
Au temps de Louis XIV, ces billards étaient des cannes légèrement recourbées et évasées vers le bout portant sur la boule : ce bout était précisément la "queue" du billard.
Formées de plusieurs parties, elles se vissaient et se dévissaient ; les queues droites modernes à bout mince n'existent que depuis le XIXe siècle et continuent d'ailleurs à se visser et se dévisser.
Dévisser son billard apparaît en argot au sens de la métaphore mortelle au milieu du XIXe siècle. Cela signifie démonter sa queue de billard, la ranger et quitter la partie. Quitter la fête en somme.
Mourir, c'est aussi quitter la partie.
Par analogie, mourir, c'est donc dévisser sa queue de billard une fois la partie terminée...
... Mais malheureusement aussi quand la partie n'est pas encore finie.
Source citée par l'auteur : Claude Duneton, La Puce à l'oreille : Anthologie des expressions populaires avec leur origine, Balland France Loisirs, 1985, pp. 174-175